【導(dǎo)讀】到目前為止,我們已經(jīng)探討了奈奎斯特-香農(nóng)定理的理論基礎(chǔ),包括頻域?qū)Σ蓸拥挠绊?。然后我們談到了這些基本原則如何應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活中的電路設(shè)計(jì)——具體來說,解決了 現(xiàn)實(shí)生活中混合信號(hào)系統(tǒng)中過采樣的重要性。
到目前為止,我們已經(jīng)探討了奈奎斯特-香農(nóng)定理的理論基礎(chǔ),包括頻域?qū)Σ蓸拥挠绊?。然后我們談到了這些基本原則如何應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活中的電路設(shè)計(jì)——具體來說,解決了 現(xiàn)實(shí)生活中混合信號(hào)系統(tǒng)中過采樣的重要性。
在整個(gè)系列中,我使用的采樣定理版本指出,當(dāng)采樣率等于或大于原始信號(hào)中頻率的兩倍時(shí),完美重建是可能的——不是感興趣的頻率,也不是主頻率,但頻率。
這個(gè)看似無害的小細(xì)節(jié)實(shí)際上在理論采樣和現(xiàn)實(shí)生活中的 A/D 轉(zhuǎn)換之間造成了重大裂痕。
您的信號(hào)的頻率是多少?
采樣定理的個(gè)問題是您永遠(yuǎn)無法以頻率的兩倍進(jìn)行采樣:由于熱噪聲在太赫茲范圍內(nèi)具有恒定的功率譜密度,每個(gè)信號(hào)的帶寬都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過模擬信號(hào)的能力- 到數(shù)字轉(zhuǎn)換器。
當(dāng)然,我并不是說所有信號(hào)在 1 THz 下都有一點(diǎn)噪聲,因此混合信號(hào)電子設(shè)備不存在。相反,我試圖戲劇性地證明不可能查看信號(hào)的傅里葉變換,繪制一條垂直線,并聲明該線右側(cè)的頻譜完全為空。
噪聲、干擾和自然現(xiàn)象的逐漸變化特征都會(huì)導(dǎo)致信號(hào)頻譜沒有容易識(shí)別的頻率。
高頻元件和混疊
為什么我們不能忽略那些麻煩的頻率分量呢?我們不打算將它們數(shù)字化,我們不需要分析或記錄它們——讓我們忘記它們,根據(jù)我們想要的頻率選擇采樣率吧!
我希望事情就這么簡(jiǎn)單,但我們必須記住,當(dāng)模擬輸入頻率超過采樣頻率的一半時(shí)會(huì)導(dǎo)致混疊——順便說一下,這有時(shí)被稱為折疊頻率,因?yàn)楦哂谠擃l率的分量會(huì)圍繞采樣頻率折疊從而與原始光譜重疊。我們不能簡(jiǎn)單地忽略折疊頻率以上的成分,因?yàn)樗鼈儠?huì)與感興趣的頻率混合,從而消除我們完美重建原始信號(hào)的能力。
考慮下圖:
假設(shè)頻譜的主要鐘形部分包含感興趣的頻率,逐漸向零衰減的低幅度尾部代表不重要的高頻分量。
該系統(tǒng)中選擇的采樣率足以捕獲感興趣的頻率,但我們不能忽略不重要的頻率,因?yàn)榛殳B會(huì)導(dǎo)致不重要的頻率延伸到我們想要準(zhǔn)確重建的頻譜部分并使其失真。
然而,這種忽略不重要頻率的想法實(shí)際上是我們?nèi)绾卧诠こ滔到y(tǒng)中處理這個(gè)問題的基礎(chǔ)。歸根結(jié)底,我們必須忽略不需要的高頻,因?yàn)槲覀儫o法完全消除它們。但在我們忽略它們之前,我們至少應(yīng)該做出一些努力來減輕它們對(duì)系統(tǒng)性能的有害影響。
這就是抗混疊濾波器發(fā)揮作用的地方。
采樣前過濾
香農(nóng)采樣定理指定了相對(duì)于信號(hào)頻率的可接受采樣率。另一種說法是,香農(nóng)給了我們帶限信號(hào)的采樣率要求,即傅立葉變換具有可識(shí)別上限的信號(hào)。
我們?cè)谖锢黼娐分邪l(fā)現(xiàn)的信號(hào)并不是真正的帶限信號(hào),但我們無論如何都要對(duì)它們進(jìn)行采樣,因此,我們將嘗試使它們成為帶限信號(hào)。這就是抗混疊濾波器的目的。
通過在采樣前讓信號(hào)通過低通濾波器,我們可以衰減指定頻率以上的頻譜內(nèi)容,從而創(chuàng)建頻率上限。
信號(hào)不會(huì)完全受限,因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)生活中的濾波器不會(huì)在截止頻率以上產(chǎn)生無限衰減。然而,它可以足夠接近帶寬限制:混疊會(huì)發(fā)生,但它對(duì)整體系統(tǒng)性能的影響可以忽略不計(jì)。
我們?nèi)绾芜x擇截止頻率?
這將取決于各種因素。一般的想法是保留頻譜的重要部分并抑制不重要的部分。然后,您可以根據(jù)希望將混疊到感興趣的頻譜中的頻率分量衰減多少來選擇 ADC 采樣率。
假設(shè)您正在為抗混疊濾波器使用一階RC 低通濾波器,截止頻率為 20 kHz。頻率響應(yīng)如下所示:
如果您以 100 kHz 采樣,則折疊頻率為 50 kHz:高于 50 kHz 的所有頻率都會(huì)導(dǎo)致混疊誤差。因此,使用這個(gè)濾波器,“混疊帶”將有 9 dB 的衰減。
夠了嗎?
這個(gè)問題沒有簡(jiǎn)單的答案,無論如何,答案取決于系統(tǒng)要求。
盡管如此,我的工程直覺告訴我,我們應(yīng)該努力將混疊帶的幅度降低至少一個(gè)數(shù)量級(jí)。這個(gè)一階 RC 濾波器在 200 kHz 時(shí)為我們提供 20 dB 的衰減,因此我們需要以 400 kHz 進(jìn)行采樣。在我喜歡使用的 ADC 的背景下,這是一個(gè)相當(dāng)高的采樣率——即那些可以方便地集成到微控制器中的 ADC 。因此,我可能不得不放寬衰減要求,或者我可以考慮為抗混疊濾波器使用二階拓?fù)洹?br style="padding: 0px; margin: 0px auto;"/>
結(jié)論
顧名思義,抗混疊濾波器可減少我們對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣時(shí)發(fā)生的混疊量。他們通過抑制折疊頻率以上的頻譜內(nèi)容來做到這一點(diǎn),從而使現(xiàn)實(shí)生活中的信號(hào)與香農(nóng)采樣定理適用的帶限信號(hào)更加一致。
雖然您可以通過提高采樣率來降低抗混疊濾波器的重要性,但我認(rèn)為在您的 ADC 電路中始終至少包含一個(gè)基本 RC 濾波器是一種很好的做法。
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