【導讀】這學期的信號與系統進展到第五章，拉普拉斯變換與 z 變換。前幾天看到一篇博文中對于無限電阻網絡求解相鄰節(jié)點阻抗中使用了離散傅里葉變換 (DFT) 的方法比較新穎。分析了DFT在其中僅僅是起到描述線性時不變離散時間系統的作用，所以將其替換成 z 變換進行描述，則在分析求解過程中會更加的清晰。
01 電阻網絡
一、問題來源
在網文 Infinite Ladder of 1Ω of Resistor[1] 中討論了如下無窮電阻網絡兩個相鄰節(jié)點之間的電阻。特別有意思的是，文中還是用了離散傅里葉變換（DFT）給出了另外一種求解方式。這不禁讓人們好奇：在這樣的電阻網絡分析中，離散傅里葉變換到底起到什么作用？
圖1.1 一歐姆組成的無線電阻網絡
二、問題求解
1、普通求解方法
??
實際上，原文給出了使用普通電阻串并聯分析方法， 過程也比較容易。先假設分別從節(jié)點 (0) 和 (1) 往左和往右得到的等效電阻為
。
圖1.1.2 向左，向右兩個半邊無限電阻網絡等效電阻
??
由于半邊電阻網絡是無窮大的，所以再前進一個節(jié)點所對應的等效電阻仍然是
。這樣就可以得到如下等式：
這樣便可以求解出
。上面等式化簡為
由此可以求得
圖1.1.3 半邊無限電阻網絡的每一級都是等效電阻R'
??
那么相鄰兩個節(jié)點之間的電阻為
圖1.1.4 相鄰節(jié)點之間的等效電阻
2、離散傅里葉求解
??
假設每個節(jié)點都由外部施加有電流源進行激勵， 分別記做為
。對應每個節(jié)點的電壓為
。
??
根據基爾霍夫節(jié)點電流定理和歐姆定理可以知道
(1-2-1)
圖1.1.5 每個節(jié)點對應的電壓與電流
??
假設序列
所對應的離散序列傅里葉變換分別為
，則有
根據離散傅里葉變換的位移性質，三個相鄰節(jié)點電壓
的離散傅里葉變換分別為
據前面公式（）可以知道
(1-2-2)
如果在節(jié)點 (0), (1) 施加正負1A的電流，對應的
。在電阻網絡各節(jié)點形成對應的電壓
分布。那么節(jié)點 (0)，(1) 之間的電壓差
就是電阻網絡等效的電阻
。
圖1.1.6 在相鄰兩個節(jié)點施加正負1A電流激勵
根據
，所以
那么對應的電阻
三、利用Z變換求解
離散序列的傅里葉變換實際上是 z 變換的一種特殊形式， 即
， 即 z 變換在單位圓上的取值 。那么上述過程是否也可以利用 z 變換求解呢？
1、z變換方程
??
對于電阻網絡做相同的電流激勵，每個節(jié)點輸入的電流源和節(jié)點對地的電壓分別記作
。它們對應的 z 變換為
。則有
根據公式 (1-2-1) 以及 z 變換的位移特性，則有
(1-3-1)
對電阻網絡施加電流
，對應的
2、留數定理求取積分
??
上述積分通過留數定理進行求取。積分公式中包含有三個極點
由于
都是雙邊序列，所以它們的收斂域都是圓環(huán)。根據電流激勵源為
，所以可以知道 都是面積可和序列，所以它們存在離散傅里葉變換， 這也說明
的收斂域包含有單位圓。
根據上述分析，可以知道積分號中的被積函數的收斂域只能如下圖所示。
圖1.3.1 積分式內函數的收斂域
??
所以，
對應的圍線積分的路徑中只包含有
兩個極點。這兩個極點對應的留數分別為
所以相鄰節(jié)點之間的電阻為：
02 DFT與ZT
到此為止，我們了解了在求解電阻網絡相鄰節(jié)點電阻的時候，利用離散傅里葉變換（DFT）的作用，并不是對于各節(jié)點信號進行頻譜分析，而是利用 DFT 描述了電阻網絡在節(jié)點電流激勵下 網絡節(jié)點電壓之間的關系。也就是把上面表達式（1-2-1）轉換成（1-2-2）。然后在DFT變換域內對
作用下求解
，進而可以獲得
。
?
在最后計算過程中，需要對比較復雜的三角函數進行積分，這個過程顯得比較麻煩。
??
離散傅里葉變換實際上是 z 變換的一種特殊形式， 也就是
，即 z 變換在單位圓上的取值。所以將上述分析更換成 z 變換的形式，也能夠進行求解。
??
如果將電阻網絡看成離散節(jié)點電流輸入
，離散節(jié)點電壓輸出
，因此這是一個線性離散時不變系統。描述它可以使用 z 變換。這樣系統方程就變成了（1-3-1）。在 z 變換域內求取系統的輸出更加方便。
??
可以看到最后計算時，利用留數定理計算最終的積分值比較方便，避免了比較復雜的三角函數的積分計算。但在分析被積函數的收斂域的時候，需要比較小心。
總結
這學期的信號與系統進展到第五章，拉普拉斯變換與 z 變換。前幾天看到一篇博文中對于無限電阻網絡求解相鄰節(jié)點阻抗中使用了離散傅里葉變換 (DFT) 的方法比較新穎。分析了DFT在其中僅僅是起到描述線性時不變離散時間系統的作用，所以將其替換成 z 變換進行描述，則在分析求解過程中會更加的清晰。
參考資料
[1] Infinite Ladder of 1Ω of Resistor: https://sites.google.com/site/resistorgrid/node1#sec:1D
免責聲明：本文為轉載文章，轉載此文目的在于傳遞更多信息，版權歸原作者所有。本文所用視頻、圖片、文字如涉及作品版權問題，請聯系小編進行處理。
推薦閱讀：
