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電路分析中的ZT和DFT

發(fā)布時間:2022-07-14 來源:TsinghuaJoking 責任編輯:wenwei

【導讀】這學期的信號與系統進展到第五章,拉普拉斯變換與 z 變換。前幾天看到一篇博文中對于無限電阻網絡求解相鄰節(jié)點阻抗中使用了離散傅里葉變換 (DFT) 的方法比較新穎。分析了DFT在其中僅僅是起到描述線性時不變離散時間系統的作用,所以將其替換成 z 變換進行描述,則在分析求解過程中會更加的清晰。


01 電阻網絡


一、問題來源


在網文  Infinite Ladder of 1Ω of Resistor[1]  中討論了如下無窮電阻網絡兩個相鄰節(jié)點之間的電阻。特別有意思的是,文中還是用了離散傅里葉變換(DFT)給出了另外一種求解方式。這不禁讓人們好奇:在這樣的電阻網絡分析中,離散傅里葉變換到底起到什么作用?


1656672709753679.png

圖1.1 一歐姆組成的無線電阻網絡


二、問題求解


1、普通求解方法

??

實際上,原文給出了使用普通電阻串并聯分析方法, 過程也比較容易。先假設分別從節(jié)點 (0) 和 (1) 往左和往右得到的等效電阻為1656672694699403.png。


1656672679394680.png

圖1.1.2 向左,向右兩個半邊無限電阻網絡等效電阻

??

由于半邊電阻網絡是無窮大的,所以再前進一個節(jié)點所對應的等效電阻仍然是1656672662479657.png。這樣就可以得到如下等式: 


6.png


這樣便可以求解出1656672640110768.png。上面等式化簡為


8.png


由此可以求得  


9.png


10.png

圖1.1.3 半邊無限電阻網絡的每一級都是等效電阻R'

??

那么相鄰兩個節(jié)點之間的電阻為


11.png


12.png

圖1.1.4 相鄰節(jié)點之間的等效電阻


2、離散傅里葉求解

??

假設每個節(jié)點都由外部施加有電流源進行激勵, 分別記做為1656672585736915.png。對應每個節(jié)點的電壓為1656672569501298.png。

??

根據基爾霍夫節(jié)點電流定理和歐姆定理可以知道


15.png   (1-2-1)


16.png

圖1.1.5 每個節(jié)點對應的電壓與電流

??

假設序列1656672540537799.png所對應的離散序列傅里葉變換分別為1656672523456458.png,則有


19.png


根據離散傅里葉變換的位移性質,三個相鄰節(jié)點電壓1656672498243900.png的離散傅里葉變換分別為 


21.png


據前面公式()可以知道


22.png   (1-2-2)


如果在節(jié)點 (0), (1)  施加正負1A的電流,對應的1656672463618896.png。在電阻網絡各節(jié)點形成對應的電壓1656672449462958.png分布。那么節(jié)點 (0),(1) 之間的電壓差1656672428537813.png就是電阻網絡等效的電阻1656672412557250.png。


1656672398879977.png

圖1.1.6 在相鄰兩個節(jié)點施加正負1A電流激勵


根據1656672374466503.png,所以 


29.png


那么對應的電阻


30.png


三、利用Z變換求解


離散序列的傅里葉變換實際上是 z 變換的一種特殊形式, 即1656672347832961.png, 即 z 變換在單位圓上的取值 。那么上述過程是否也可以利用 z 變換求解呢?


1、z變換方程

??

對于電阻網絡做相同的電流激勵,每個節(jié)點輸入的電流源和節(jié)點對地的電壓分別記作1656672328845474.png。它們對應的 z 變換為1656672309300450.png。則有


34.png


根據公式 (1-2-1) 以及 z 變換的位移特性,則有  


35.png   (1-3-1)


對電阻網絡施加電流1656672220402549.png,對應的 


37.png

37-1.png


2、留數定理求取積分

??

上述積分通過留數定理進行求取。積分公式中包含有三個極點  


38.png


由于1656672168510985.png都是雙邊序列,所以它們的收斂域都是圓環(huán)。根據電流激勵源為1656672133573865.png,所以可以知道  都是面積可和序列,所以它們存在離散傅里葉變換, 這也說明1656672107761324.png的收斂域包含有單位圓。


根據上述分析,可以知道積分號中的被積函數的收斂域只能如下圖所示。


1656672088503266.png

圖1.3.1 積分式內函數的收斂域

??

所以,1656671896616642.png對應的圍線積分的路徑中只包含有1656671869681999.png兩個極點。這兩個極點對應的留數分別為  


44.png


所以相鄰節(jié)點之間的電阻為:


45.png


02 DFT與ZT


到此為止,我們了解了在求解電阻網絡相鄰節(jié)點電阻的時候,利用離散傅里葉變換(DFT)的作用,并不是對于各節(jié)點信號進行頻譜分析,而是利用 DFT 描述了電阻網絡在節(jié)點電流激勵下 網絡節(jié)點電壓之間的關系。也就是把上面表達式(1-2-1)轉換成(1-2-2)。然后在DFT變換域內對1656671796499804.png作用下求解1656671766803958.png,進而可以獲得1656671689308313.png。

?

在最后計算過程中,需要對比較復雜的三角函數進行積分,這個過程顯得比較麻煩。

??

離散傅里葉變換實際上是 z 變換的一種特殊形式, 也就是1656671668696809.png,即 z 變換在單位圓上的取值。所以將上述分析更換成 z 變換的形式,也能夠進行求解。

??

如果將電阻網絡看成離散節(jié)點電流輸入1656671551604373.png,離散節(jié)點電壓輸出1656671527650193.png,因此這是一個線性離散時不變系統。描述它可以使用 z 變換。這樣系統方程就變成了(1-3-1)。在 z 變換域內求取系統的輸出更加方便。

??

可以看到最后計算時,利用留數定理計算最終的積分值比較方便,避免了比較復雜的三角函數的積分計算。但在分析被積函數的收斂域的時候,需要比較小心。


總結


這學期的信號與系統進展到第五章,拉普拉斯變換與 z 變換。前幾天看到一篇博文中對于無限電阻網絡求解相鄰節(jié)點阻抗中使用了離散傅里葉變換 (DFT) 的方法比較新穎。分析了DFT在其中僅僅是起到描述線性時不變離散時間系統的作用,所以將其替換成 z 變換進行描述,則在分析求解過程中會更加的清晰。


參考資料


[1] Infinite Ladder of 1Ω of Resistor: https://sites.google.com/site/resistorgrid/node1#sec:1D



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