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三角脈沖信號的卷積

發(fā)布時(shí)間:2022-07-14 來源:TsinghuaJoking 責(zé)任編輯:wenwei

【導(dǎo)讀】根據(jù)信號與系統(tǒng)答疑過程中,學(xué)生對于三角形信號卷積結(jié)果的疑惑,給出了相應(yīng)的數(shù)值、理論、以及頻譜分析的解答。特別是后面頻譜分析部分也是由另外參加答疑的同學(xué)提出的。之所以這個(gè)題目會產(chǎn)生疑問,主要原因來自于卷積計(jì)算“圖解法”所帶來的誤導(dǎo)。圖解方法只能幫助確定卷積的階段和積分上下限,求解卷積結(jié)果還是需要根據(jù)實(shí)際信號函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。


1.jpg


簡 介: 根據(jù)信號與系統(tǒng)答疑過程中,學(xué)生對于三角形信號卷積結(jié)果的疑惑,給出了相應(yīng)的數(shù)值、理論、以及頻譜分析的解答。特別是后面頻譜分析部分也是由另外參加答疑的同學(xué)提出的。之所以這個(gè)題目會產(chǎn)生疑問,主要原因來自于卷積計(jì)算“圖解法”所帶來的誤導(dǎo)。圖解方法只能幫助確定卷積的階段和積分上下限,求解卷積結(jié)果還是需要根據(jù)實(shí)際信號函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。


01 三角波卷積


一、答疑碰到的問題

??

這兩天信號與系統(tǒng)期末考試答疑中,多次碰到學(xué)生詢問起一個(gè)課堂練習(xí)的習(xí)題。也就是為什么兩個(gè)等腰三角形的卷積是答案(C):一個(gè)類似于升余弦的光滑曲線,而不是答案(B)一個(gè)尖頂?shù)拿}沖。此時(shí)才意識到這個(gè)問題的確有和直覺相違背的地方。


2.png

圖1.1.1 三角波與自身的卷積波形:選擇題

??

通過分析,造成判斷錯誤的來源,實(shí)際上是誤用了求解卷積過程中的“圖解法”。圖解方法通過把卷積的數(shù)學(xué)運(yùn)算轉(zhuǎn)換成信號波形的變化,幫助確定卷積階段和積分的上下限。但往往也會對卷積結(jié)果產(chǎn)生誤導(dǎo),即部分同學(xué)會將兩個(gè)圖像重疊對應(yīng)的圖像面積當(dāng)做求解的結(jié)果,但這種情況只能發(fā)生在一個(gè)信號是常量的情況。


1656664081838391.png

圖1.1.2 對于簡單信號所使用的圖解方法


二、問題分析

??

這兩天答疑過程中,學(xué)生也給出了對于這個(gè)問題很好的解釋。下面給出相應(yīng)的總結(jié):


1、數(shù)值求解

??

下面是通過數(shù)值求解反映的 一些等腰三角形與其自身卷積的結(jié)果,結(jié)果說明了兩個(gè)等腰三角學(xué)卷積的確是一個(gè)一階導(dǎo)數(shù)光滑的曲線。


1656664063469512.gif

圖1  三角波與三角波相互卷積


2、理論分析

??

對于這類有限長度的簡單信號,在求解它們之間相互卷積的時(shí)候,同時(shí)使用“圖解法”幫助確定積分的區(qū)間。由于兩個(gè)三角波形自身都具有兩個(gè)變化階段一個(gè)是上升階段,一個(gè)是下降階段。它們的長度相同,所以通過簡單分析可以知道這兩個(gè)三角波卷積過程,它們重合情況可以分成四個(gè)階段,如下圖所示。當(dāng)1656664041832946.png不在這四個(gè)階段的時(shí)候,兩個(gè)三角形不重合,卷積結(jié)果為 0。


1656664020691226.png

圖1.2.2 卷積過程中四個(gè)不同的重疊階段

??

由于參與卷積的信號左右對稱,所以只需要對于第一、第二階段進(jìn)行求解;然后將結(jié)果偶對稱得到信號在1656664002862074.png之后的結(jié)果。


(1)第一個(gè)階段


1656663988461501.png時(shí),兩個(gè)三角形的重疊范圍是1656663973894249.png。此時(shí)對應(yīng)的卷積運(yùn)算為


6.png


這個(gè)求解化簡過于繁瑣,使用Python中的符號求積分軟件包可以幫助進(jìn)行求解


t,T = symbols('t,T')

result = integrate(-(T-t-1)*(T+1),(T,-1,t))


(2)第二階段

??

1656663941887901.png,參與卷積的信號重疊方式為如下圖所示,重疊區(qū)域?yàn)?img src="https://stockimg.52solution.com/ueditor/php/upload/image/20220701/1656663922..png" title="1656663922805250.png" alt="1656663922805250.png" width="77" height="19" border="0" vspace="0" style="width: 77px; height: 19px;"/>。


1656663876821065.png


合并前面求解的第一、第二階段的公式,將它們進(jìn)行反褶之后,便可以得到第三、第四階段的公式。最終三角形卷積的結(jié)果為:


10.png


(3)數(shù)值驗(yàn)證

??

下面使用Python對上述公式進(jìn)行繪制,查看卷積結(jié)果的信號波形。


def w(t,t1,t2):

  return heaviside(t-t1, 0.5)-heaviside(t-t2, 0.5)

def f1(t):

   return t**3/6 + t**2 + 2*t + 4/3

def f2(t):

  return -t**3/2 - t**2 + 2/3

def f(t):

    return f1(t) * w(t, -2, -1) +\

     f2(t) * w(t, -1, 0) +\

    f2(-t) * w(t, 0, 1) +\

    f1(-t) * w(t, 1, 2)


t = linspace(-2, 2, 500)

fdim = f(t)

plt.plot(t, fdim)

plt.xlabel("t")

plt.ylabel("f(t)")

plt.grid(True)

plt.tight_layout()

plt.show()


1656663827654018.png


3、傅里葉變換

??

可以利用傅里葉變換卷積定理,分析兩個(gè)三角脈沖信號的卷積。對于高度為 1,寬度為 2 的對稱等腰三角型,對應(yīng)的頻譜為 


12.png

??

卷積結(jié)果對應(yīng)的頻譜為:


13.png

     

當(dāng)然,直接從上面結(jié)果進(jìn)行傅里葉反變換求解卷積時(shí)域表達(dá)式也比較麻煩,不過它可以告訴我們,卷積結(jié)果的頻譜幅度衰減的規(guī)律應(yīng)該是1656663794493156.png。再由信號波形的光滑性與頻譜衰減之間的關(guān)系可知,卷積結(jié)果應(yīng)該是滿足二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。由此也可以幫助判斷在選擇題中,只有答案(C)能夠滿足二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的要求,其它三個(gè)信號波形對應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)都不連續(xù)。


來源:TsinghuaJoking,原創(chuàng):卓晴  



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