【導讀】通常,被動元件值的變化會導致濾波器響應(yīng)特性發(fā)生一些變化。如果這種變化足夠小,就會存在一個靈敏度 S,這是一個比例常數(shù),將濾波器參數(shù) y 變化與被動元件 x 的變化聯(lián)系起來。為了保持 S 無量綱,將被動元件值的分數(shù)變化與參數(shù)的變化聯(lián)系起來會很有用。
濾波器中使用的無源元件類型
但與其依靠經(jīng)驗法則,不如先使用標稱值無源元件和無高頻滾降且諧振頻率增益為 1000·4·Q 2或更高的運算放大器來模擬濾波器。然后,降低增益并引入高頻滾降,直到看到響應(yīng)變化。,可以選擇具有匹配或更優(yōu)異特性的運算放大器并將其用于模擬以確認設(shè)計。
由于元件公差導致的量化濾波器響應(yīng)變化
通常,被動元件值的變化會導致濾波器響應(yīng)特性發(fā)生一些變化。如果這種變化足夠小,就會存在一個靈敏度 S,這是一個比例常數(shù),將濾波器參數(shù) y 變化與被動元件 x 的變化聯(lián)系起來。為了保持 S 無量綱,將被動元件值的分數(shù)變化與參數(shù)的變化聯(lián)系起來會很有用。從數(shù)學上講,
當 Δx 趨向于零時求解極限,我們得到:
值得關(guān)注的 x 實例是組成濾波器的電阻和電容值。y 實例是定義濾波器參數(shù):通帶增益、Q 和 ω 0 = 2π·f 0。以下是如何計算圖 1中低通濾波器的各種 S 值的示例。
圖 1用于計算各種 S 值的示例低通濾波器。
上述濾波器的頻域(s平面)傳遞函數(shù)為:
對于這樣的部分,這等于:
通過使同類項相等,可以計算出各種參數(shù)。但真正需要的是每個 y 參數(shù)對完整濾波器設(shè)計(涉及其所有無源元件)的總靈敏度。一種方法是使用以下公式:
這是特定 y 對每個 i 組件 x i的靈敏度平方和乘以 x i的容差(百分比),pct_tol xi 的平方根。此表達式可用于比較具有不同組件值集的實現(xiàn)的總體靈敏度。
通用濾波器設(shè)計方法
參見圖 2,其中顯示了用于設(shè)計和分析低通濾波器的電子表格LPF.xlsx。其許多特性與高通和帶通電子表格中使用的特性相同。
圖 2低通濾波器電子表格的屏幕截圖,其中黃色值由用戶輸入,橙色單元格是電子表格自動計算的濾波器組件值,底部參數(shù)是電子表格所需的中間計算,F(xiàn) 列和 G 列包含靈敏度值。還有一個忽略 _ρ 的圖表,顯示用戶可以選擇的多種可能的組件值。
C 列第 5 行至第 14 行中的黃色值是用戶輸入的值。這些包括濾波器特性參數(shù) Q、增益和 f 0;以及比率 _ρ = C1/C2(請注意與單元格 C10 相關(guān)的注釋);C1 和 RG 的值(B 列至 D 列和第 26 行至第 37 行中所示的原理圖中元件的參考指示器);以及濾波器中打算使用的電阻器 (r_tol) 和電容器 (c_tol) 的百分比公差。
橙色單元格(B 列和 C 列,第 20 至 24 行)是電子表格根據(jù)這些用戶輸入計算出的過濾組件值。C 列和 D 列,第 43 至 48 行包含電子表格所需的一些中間計算。
F 和 G 列包含與每個組件 x 相關(guān)的、和靈敏度。僅列出對總靈敏度參數(shù) S Q、 S Gain和 S ω 0 (也顯示在這些列中)具有非零影響的靈敏度。請注意,電子表格計算的每個參數(shù)的方程式都出現(xiàn)在參數(shù)值的右側(cè)。還有一個忽略 _ρ 的圖表,顯示用戶可以選擇的多種可能的組件值。
低通濾波器設(shè)計
現(xiàn)在讓我們看一下圖上的參數(shù) _ρ = _C1 /_C2 和靈敏度 S Q和 S ω 0 的曲線,它們由 _r = _R2/(1/_R1a + 1/_R1b) 參數(shù)化,值從 .01 到 100。這些僅取決于 Q、增益和 _r。所有這些都是無量綱的。
_ρ 曲線顯示,對于此特定濾波器,小于 4·Q 2 = 4的值沒有解。(如果您為 _ρ 輸入了這樣的值,Excel 將對許多電子表格計算返回 #NUM!錯誤。)增益靈敏度曲線 S Gain無法以對數(shù)刻度顯示 - 單元格 G25 顯示它等于零。為什么?通帶(低頻)增益為 1,RF 為零,R1b 為無窮大(電子表格顯示它大得離譜),并且沒有任何無源元件對增益產(chǎn)生任何影響。(在物理濾波器中,仍然對單位增益配置運算放大器的增益敏感,由于其有限增益帶寬積,該增益實際上小于單位增益。因此,這是使用預期運算放大器模擬濾波器設(shè)計的原因之一。)有趣的是,對于大于或等于單位增益,組件對 S ω 0的敏感度與 Q、_r、_ρ 和 Gain 無關(guān),僅取決于公差 r_tol 和 c_tol。如果 Gain 為單位增益,則可能受影響的整體敏感度是 S Q,在這種情況下,當 _ρ = 4·Q 2 = 4 時,S Q 被化。
當 _C1 輸入 12.0E-9 時,_ρ 的表達式 = 12/2.7 ≈ 4.44 接近 4,從而允許使用標準值電容器。可以看出,對于低通和高通濾波器,不敏感的選擇是增益為 1。圖 3顯示了當增益要求增加哪怕一點點到 1.5 時會發(fā)生什么。
圖 3 的低通濾波器設(shè)計,其增益參數(shù)從 1 增加到 1.5。
S ω 0保持不變,正如預期,但 S Q現(xiàn)在已經(jīng)增加了一倍多,S Gain也出現(xiàn)了,盡管這并不令人擔憂。的好消息是 _ρ = _C1/_C2 可以降低到 2.2/1,_C1 可以降低到 2.2E-9(圖 3 中未顯示),對 S Q沒有顯著影響。不建議大幅增加 Gain,因為這會導致 S Q大幅跳躍,如圖4所示。
圖 4低通濾波器屏幕截圖,增益從 1 跳變到 5,導致 SQ 出現(xiàn)大幅跳躍。
與圖 3 設(shè)計相比,如此大的增益值使 S Q的可獲得值增加了6 倍。對于更高的 Q 值和大于 1% 的組件公差,問題會變得更加嚴重。
低通濾波器設(shè)計總結(jié)
毫無疑問,使用公差的無源元件可以獲得結(jié)果。幾乎無法影響 S ω 0的值,當增益值大于或等于 1 時,該值保持不變,而當增益較小時,該值僅會小幅下降。幸運的是,它的值相對較小。對于給定的 Q 和 f 0值,不敏感的低通濾波器設(shè)計總體上具有 1 增益。在這種情況下,S Gain為零,S Q處于值。1 或更低的增益會使 S Q 保持不變,但會導致 S Gain略高于非常穩(wěn)定的 S ω 0。真正的問題來自于大于 1 的增益值:即使稍高的值也會導致 S Q顯著增加并壓倒 S Gain和 S ω 0的貢獻,但它們會降低 _ρ 的可用值,對于某些高 Q 情況,這可能是與增加 S Q相比可以接受的權(quán)衡。不過,一般來說,避免增益值遠大于 1 是明智的,您可以驗證通常推薦的增益 = 2 的情況,以允許相等的電容值使 _ρ = 1 產(chǎn)生 S Q的驚人增加。
高通濾波器設(shè)計
除了與 R1 和 R2 的處理方式以及 C1 和 C2 的處理方式互換有關(guān)的一些差異外,圖 5所示的高通濾波器設(shè)計和高通濾波器設(shè)計電子表格與低通濾波器的設(shè)計非常相似。的差異首先是,圖形曲線的參數(shù)化方式是 _ρ = _C1/_C2(假設(shè)值從 .01 到 100),而不是 _r = _R2/_R1。對于低通,_r 的任何值都會產(chǎn)生可實現(xiàn)的結(jié)果,而對于高通,_ρ 也是如此。其次,沒有與低通濾波器的 R1b/R1a 相對應(yīng)的 C1b/C1a 分壓器 - 只有 _C1。引入電容分壓器需要前級來驅(qū)動電容負載,從而引起振蕩。因此,盡管高通濾波器無法支持小于 1 的增益值,但高通和低通設(shè)計顯示出明顯的相似性。圖 4 與圖 5 的圖表采用相同的 Q、增益和 f 0,進行比較,結(jié)果幾乎相同(_ρ 和 _r 互換)。
圖5:高通濾波器屏幕截圖,其Q值、增益和f 0要求與圖4相同。
高通濾波器設(shè)計摘要
“低通濾波器設(shè)計摘要”部分中的評論也適用于此,只是沒有小于 1 的增益值選項。
帶通濾波器設(shè)計
雖然高通和低通濾波器中對元件公差不敏感的拓撲結(jié)構(gòu)是 Sallen-Key,但對于帶通濾波器來說,它是 Delyannis-Friend(又稱多反饋配置)。圖 6中可以看到帶通濾波器電子表格的屏幕截圖。
帶通的用戶數(shù)據(jù)輸入與低通和高通情況非常相似,只是沒有 _RG(因此也沒有 _RF)。再次提醒,請注意 D 和 E 列注釋中的注釋。如果單元格 C6(諧振時的濾波器增益)的背景為紅色,則沒有可實現(xiàn)的濾波器,應(yīng)忽略 C 至 G 列中的計算,并且圖表將為空白。
在某些情況下,單元格 C6 的背景顏色將為正常的白色,但濾波器將僅對某些較小的 _ρ 值可實現(xiàn),并且圖形的曲線將相應(yīng)地顯示。無論單元格 C10 中的 _ρ 值是多少,曲線都可能不存在,或部分或全部存在。但如果 C10 的背景顏色為紅色,則應(yīng)忽略 C 至 G 列中與 _ρ 相關(guān)的計算。圖 6 是一個示例,其中濾波器諧振時的增益足夠接近可能值 2·Q 2,從而導致高 _ρ 值(大于 30)無法實現(xiàn)。
圖 6帶通濾波器屏幕截圖,其中用戶輸入數(shù)據(jù)(黃色)與低通和高通濾波器 Excel 表相似。
帶通濾波器設(shè)計總結(jié)
令人驚訝的是,無源靈敏度曲線幾乎完全獨立于用戶指定的諧振濾波器增益。這是因為對于給定的 Q 和 f 0,濾波器增益由 R1a 與 R1b 的比率設(shè)置。這些組件的并聯(lián)組合與濾波器增益無關(guān),濾波器的其余部分除了信號電平外沒有區(qū)別。(設(shè)計人員應(yīng)該知道,運算放大器很容易在增益過高的情況下在諧振點或附近削波。)令人驚訝的是,靈敏度與 Q 無關(guān)。但是,Q 越高,運算放大器開環(huán)增益就必須越高,以提供足夠的裕度來準確實現(xiàn)所需的運算放大器閉環(huán)增益。強烈建議使用為其設(shè)計的運算放大器或具有類似增益特性的運算放大器來模擬濾波器設(shè)計。
僅從靈敏度曲線來看,可以得出結(jié)論,選擇是 _ρ 為 1 或更小。_ρ = 1 具有比率 _r = R2 / (R1a || R1b) 的優(yōu)勢。但請考慮諧振時運算放大器的增益:_ρ 值越高,所需的增益越小,對運算放大器開環(huán)增益要求的負擔越小,從而提供足夠的裕度來滿足閉環(huán)增益要求。
更高的 _ρ 值只會使壓倒性的 S增益增加一點點。顯然,當考慮對運算放大器閉環(huán)增益的要求時,_ρ 值小于 1 會帶來相當大的不利影響。也許的選擇是 _ρ = 1。匹配的電容器可以是任何標準值,S增益接近其值,_r 為其值,運算放大器閉環(huán)(因此也是開環(huán))增益要求只會略有增加。
靈活的無源元件值
本文及其附帶的電子表格幫助您了解通帶增益、Q 值和諧振頻率對幾乎無限的無源元件組合的敏感性,這些無源元件可構(gòu)成低通、帶通和高通單運算放大器濾波器。本文還提供了使用現(xiàn)成電容值來實現(xiàn)設(shè)計的能力。希望濾波器設(shè)計人員會發(fā)現(xiàn)這些是一套有用的工具,其功能在其他地方是找不到的。
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